Модальні логіки
Вже перші викладу тризначної логіки в 1920 р. містили явний звязок модальності і багатозначності. Цибуля асевіч вважав, що двозначної логіці не вдасться узгодити інтуїтивні трактування модальних функторів. Ця думка є наслідком пояснення формалізації модальностей не як операторів, а як функторів, зрівняних концептуально в правах з логічними знаками. Це своє переконання Лукасевич послідовно виражав протягом всієї своєї наукової творчості.
Перше систематичний виклад модальної логіки дано Лукасевич в роботі з назвою Філософські зауваження про багатозначних системах обчислення пропозицій. [1930] Правда, тут не представлена система модальної логіки як така, але тільки показані вимоги, яким повинна, на думку Лукасевича, задовольняти така система. Модальними пропозиціями Лукасевич називає наступні чотири виразу:
(1) можливо, що p - символічно: Mp;
(2) неможливо, що p - символічно: NMp;
(3) можливо, що не-p - символічно: MNp;
(4) неможливо, що не-p - символічно: NMNp.
Традиційні затвердження про модальності на думку Лукасевича можна розділити на три групи. До першої групи ставляться пропозиції наступного виду: (a) Ab oportere ad esse valet consequentia (Якщо що-небудь необхідно, то воно існує); (b) Ab esse ad posse valet consequentia (Якщо що-небудь існує, то воно можливе); (с) Ab non posse ad non esse valet consequentia (Якщо що-небудь неможливо, то воно не існує). Спільним представником цієї групи є пропозиція
(I): Якщо неможливо, що p, то чи не-p.
Другу групу становить твердження Лейбніца з теодицею: (d) Unumquodque, quando est, oportet esse (Щоб там не сталось, як вона існує - воно необхідне). Лукасевич помічає, що останнє висловлювання насправді походить від Аристотеля і розбирає можливі інтерпретації Стагірита. Внаслідок аналізу виявляється, що слово quando в заяві (d), як і відповідне йому hotan в Аристотеля, є частками, що виражають не умова, але час. Однак тимчасова форма переходить в умовну форму, оскільки в звязаних часовими рамками реченнях визначення часу виявляється включеним в зміст пропозицій.
Предложение (d) має наступну еквівалентну формулювання
(II): Якщо припускається, що не-p, то неможливо, що p.
Третю групу представляє арістотелівські принцип обопільної можливості
(III): Для деякого p, можливо, що p, і можливо, що не-p.
Ми опустимо тут технічні подробиці рішення Лукасевич проблеми модальностей, але він бачить у використанні тризначної логіки, а точніше - в знаходженні в L3 такого визначення можливості, яке б виконувало умови, окреслені в (I) - (III). Задовільна дефініція повинна бути прочитана в такий спосіб: можливо, що p значить те, що або речення p і не-p рівнозначні, або не існує такої пари суперечливих пропозицій, які б виходили із пропозиції p. У більш загальному значенні аналогічне в цьому контексті поняття можливості запропонував у 1921 р. Тарський: Mp = CNpp. Дефініенс цього визначення ложении тоді і тільки тоді, коли p = 1 / 2. З цього визначення і таблиць для C і N отримуємо рівності: M0 = 0, M1 / 2 = 1, 1 = M1. Згідно з цими рівності, якщо пропозиція p неправдиво, і помилково також і пропозиція Mp, але Mp Поправді, коли p істинно або p приймає третього значення. Цей результат Лукасевич порахував найбільш узгодженим з інтуїцією. Визначення необхідності має вигляд Lp = NCpNp відповідно до загальноприйнятої схеми Lp = NMNp. Закінчуючи свій перший систематичний виклад модальної логіки в дусі логіки багатозначною Лукасевич повністю приймає викладені вище визначення можливості і потреби: рішуче не висловлюючись про інтуїтивний сенсі наведеної вище за дефініції, однак ми повинні визнати, що ця дефініція задовольняє всім умовам, визначеним в твердженнях (I) -- (III), і зокрема, як це довів р.Тарський, що це єдина можлива в тризначної системі дефініція, яка виконує ці умови .
Оскільки пізніше Лукасевич повернувся до проблематики модальної логіки, то звичайно, вважати, що перший її виклад не задовольняв його. Нове виклад [1953] модальне логіки Лукасевич починає з викладу умов, за яким його думку повинна задовольняти така логіка:
(1) затверджується імплікація CpMp;
(2) відкидається імплікація CMpp;
(3) відкидається пропозицію Mp;
(4) затверджується імплікація CLpp;
(5) відкидається імплікація CpLp;
(6) відкидається пропозицію NLp;
(7) стверджується еквівалентність EMpNLNp;
(8) стверджується еквівалентність ELpNMNp.
Поняття затвердження і відкидання належать системі і позначаються відповідно й ? ? ? ?. Перша умова відповідає принципу Ab esse ad posse valet consequentia. Друга умова відповідає вислову A posse ad esse non valet consequentia. У третьому умови говориться, що не всі вирази, які починаються з M затверджуються, оскільки інакше Mp було б рівносильне функції verum від p, яка не є модальної функцією. Четверте умова відповідає принципу Ab oportere ad esse valet consequentia. Пята умова відповідає вислову Ab esse ad oportere non valet consequentia. У шостому умови йдеться, що не всі вирази, які починаються з NL твердженнями є, оскільки в іншому випадку Lp було б рівносильне функції від falsum p, яка не є функцією модальності. Останні дві умови представляють очевидні звязки між можливістю та необхідністю.
Лукасевич пропонує для основної модальної логіки наступну сукупність формул в як аксіом: (A1) ? ? CpMp, (A2) ? ? CMpp, (A3) ? ? Mp, (A4) ? ? EMpMNNp з правилами заміни за визначенням (Lx = NMNx), підстановки у затверджене вираз, підстановки в відкидаємо вираз (якщо а відкидається й а є підстановка b, то b повинне бути відкинуто), відділення для затверджених висловів і відділення для відкидаємо виразів (якщо Cxy затверджено, а y - відкинуто, то x також відкинуто). З використанням знака необхідності (A1) - (A4) перетворюються в: (A5) ? ? CLpp, (A6) ? ? CpLp, (A7) ? ? NLp, (A8) ? ? ELpLNNp. Особливо важливими на думку Лукасевича є аксіоми (A4) і (A8). Оскільки вони вельми схожі, то виникає думка, що вони мають у своїй підставі якийсь загальний принцип, з якого їх можна вивести. А це означає, що основна модальна логіка не повна. Це припущення підтверджується тим фактом, що формули MKpqMp, CMKpqMq (якщо можлива конюнкція, то можливий кожний з його членів), а також CLKpqLp, CLKpqLq (якщо необхідна конюнкція, то необхідний кожен з членів її) незалежні від основної модальної логіки. Чи не виводяться з (A1) - (A4) (або ж з (A5) - (A8)) такі закони, які відомі вже Аристотелем: (a) CCpqCMpMq, (b) CCpqCLpLq, (c) CLCpqCMpMq, (d) CLCpqCLpLq. Можна показати, що з (a) варто (c), а з (b) - (d). Тому слід було розширити основну модальної логіки, аксіомам приєднуючи до формули її (a) - (d). Формули (a) та (c) можна вважати окремими випадками екстенсіональності закону CEpqCfpfq (f означає змінний функторів). Приєднаються (a) до (A1) - (A3) можна довести (A4); аналогічно приєднуючи (c) до (A5) - (A7) можна довести (A8). Однак обидва конструкції Лукасевич вважає недостатньо загальними. Остаточне формулювання модальної системи грунтується на згадуваному вище результаті Лукасевича учня - Мередіта, стверджував, що L2 і закон екстенсіональності випливають з формули CfpCfNpfq. Остаточно аксіоматика модальної логіки у Лукасевича приймає наступний вигляд: ? ? CfpCfNpfq, ? ? CpMq, ? ? CMpp, ? ? Mp. L-система містить числення висловлювань L2, але не є двозначною. Лукасевич показав, що адекватною матрицею для L-є системи наступна чотиризначна матриця (1 є виділеним значенням):
З того факту, що існують дві опосередковують істину і брехню оцінки (2 і 3) не слід робити висновок, що у системі модальної логіки Лукасевича існують два поняття можливості. Проте в L-системі мають місце т.зв. можливості-близнюки M і M1. Вони невиразні, коли виступають окремо, але різняться, коли входять до однієї формули, приміром, формули MMp і M1M1p еквівалентні, а формули M1Mp і MM1p нееквівалентний. Цей факт у системі модальної логіки Лукасевича не має інтуїтивно інтерпретації. Чотиризначна матриця взагалі змінила погляд Лукасевича на значення багатозначних логік: коли раніше він вважав, що слід робити вибір між тризначної логікою чи бесконечнозначной, то тепер він визнав чотиризначний систему адекватною для вираження поняття можливості.
Деякі неясні питання Лукасевич намагається зясувати шляхом порівняння з іншими модальними системами, зокрема, із системою фон Врігта, а не більш відомими системами Льюїсу, оскільки вони базуються на т.зв. строгої імплікації, яка сильніша, ніж матеріальна імплікація, використовувана Лукасевич. Він ставить під сумнів т.зв. правило необхідності: якщо x є формулою системи, то Lx - формула також. Лукасевич вважає, що пропозиція є безпосередньо неправдивим або істинним і не бачить причини, з якої тавтологія повинна бути справжньою, ніж звичайне справжнє пропозицію, а контрадікторное пропозиція більш хибно, ніж звичайна брехня. У цій позиції відчувається вплив Твардовського, підкріплене поглядами Лесьневского. Лукасевич запитує: Чому ми повинні вводити необхідність і неможливість в логіку, якщо не існують справжні аподіктіческіе пропозиції? На цей докір я відповідаю, що перш за все ми цікавимося проблематичними пропозиціями вигляду Mx і MNx, які можуть бути щирі та використовувані, хоча їхні аргументи і відкидаються, а вводячи проблематичний пропозиції ми не можемо обійти їх заперечення, тобто аподіктіческіх пропозицій бо пропозиції, обох видів нерозривно між собою повязані. (S.295) Важливою для розуміння Лукасевич поняття можливості є формула CKMpMqMKpq, яка не має місця в систему Льюіса. Лукасевич розглядає наступний приклад:
Нехай n буде цілим позитивним числом. Я стверджую, що наступна імплікація істинна для всіх значень n: Якщо можливо, що n парних, і можливо, що n непарній, то можливо, що n парної і n непарній. Якщо n = 4, то справді, що n може бути парним, але не можливо істинної, що n може не бути парним; якщо n є 5, то справді, що n може бути непарним, але не є щирою те, що n може бути парним. Обидві посилки ніколи не є одночасно істинними і приклад не може бути спростовано.
Ці міркування показують, що Лукасевич розумів можливість екстенсіонально, тоді як в системах Льюїса функторів L і M інтенсіональні.
Так рішення Арістотелевой проблеми в контексті боротьби з фаталізмом призвело Я. Лукасевича до творення нового, оригінального напряму в логіку, яке згодом отримала бурхливий розвиток .