Корекція визначення і числа аксіома нескінченності

Формулювання парадоксу зачіпає не лише суперечливість розмірковування, а й інший важливий аспект логіцістской програми Г. Фреге, що повязаний з визначенням арифметичних понять в логічних термінах. Визначення числа по Фреге, як вона була сформульовано вище, потребує розглядати класи, що складаються з елементів, що належать до різних типів. Приміром, вже визначення числа два припускає клас, утворений з нуль-класу і класу, елементом якого є сам нуль-клас. Однак саме це і містить парадокс, що виявив Рассел. Рассел зберігає логіцістскую установку на те, що арифметика зводиться до логіку, але у світлі встановленого суперечності визначення числа повинно бути модифіковано таким чином, аби виключити змішання типів.

Рассел виходить з ускладнень наступним чином . Він зберігає загальний фрегеанскій підхід до числа з точки зору класів, що знаходяться під взаємно-однозначним дотриманням. Зберігає він і визначення нуля як класу нерівних самим собі обєктів. Модифікація визначення починається з числа один. Число один відповідає класу всіх класів, що знаходяться у взаємно-однозначним дотриманням класом, що містить один обєкт. Два Число відповідає класу всіх класів, що знаходяться під взаємно-однозначним дотриманням класом, що складається з обєкта, використаного при визначенні числа один, плюс новий обєкт і т.д. Визначення, побудоване таким способом, уникає парадоксу, оскільки дотримується вимога теорії типів. Обєкти, що використовуються при визначенні чисел, що належать одному й тому ж типу. Однак воно вимагає введення додаткової постулату. Визначення кожного наступного числа в послідовності натуральних чисел вимагає нового обєкта. Але оскільки натуральний ряд нескінченний, остільки має передбачатися і нескінченна кількість обєктів. Так у логічній системі Рассела виникає аксіома нескінченності, а саме припущення про те, що будь-якому заданому числу n відповідає певний клас обєктів, що має n членів .