Логіка фікції і аксіома зводиться

У Principia Mathematica, праці, в якому Рассел спільно з Уайтхед спробували послідовно розвинути передумови логіцізма, теорія типів, аксіома нескінченності і розглянута нижче аксіома зводиться включаються до числа логічних речень. Однак тут виникає проблема, повязана зі статусом даних положень. Завдання та різних рівнів буття, запропонована теорією типів, або аксіома нескінченності, що характеризує сукупність предметів у світ, виходить за межі аналітичного знання. Розробляючи теорії типів, Рассел говорить про недопустимість певної комбінації символів у мові логіки. Однак те, що він має на увазі, виходить за рамки символічною комбінаторики, оскільки самі по собі символи підстави для такої заборони не дають. Обмеження можливі лише тоді, коли до уваги приймається певна інтенція значення. Стало бути, теорія типів заснована на онтологічної передумову про допустимі види значень і суттєво від неї залежить.

Формулюючи теорію типів, говорить про класи Рассел, але це не означає, що він допускає їх існування реальне, оскільки це відроджували б ієрархічну структуру буття в сенсі Платона, і навіть перевершувало б запропоноване останнім подвоєння реальності, тому що передбачало б її множення ad infinitum відповідно множення різних типів знаків. Крім того, з реальністю класів повязана низка наслідків, прийняти які Расселу заважає на установка здоровий глузд. Відповідно до способу побудови класів з будь сукупності n предметів можна утворити 2 n класів. Наприклад, взявши із трьох сукупність предметів a, b, c можна створити вісім класів. Це наступні класи: нульовою клас, класи a (), (b) і (c); потім, (bc), (ca), (ab), (abc). Розглянемо тепер сукупність всіх речей, що існують у світі. Вочевидь, що кількість класів, утворених з цих речей, буде більше їх числа самих, оскільки 2 n завжди більше, ніж n. Тепер, якщо ми приймаємо реальність класів, що виходить парадоксальний висновок. Виявляється, що число всіх дійсно існуючих речей менше, ніж їх є насправді. Рассел не приймає цього парадоксального висновку, виходячи з положення тим, що диференціює поняття існування відповідно типами значень. Говорити про існування індивідів - це зовсім інше, ніж говорити про існування складених з них класів. Останнє є лише fa conde parle r, від якого при бажанні завжди можна позбутися. Тут виникає концепція неповних символів, яка розглядає класи як логічні фікції. Належна трактування класів має виключити їх з переліку самостійних сутностей, а те, що ми розглядаємо як позначення класів, має бути зведене до позначення сутностей, що не викликають сумнівів у своєму існуванні.

Здійснюючи подібну редукцію, Рассел відштовхується від того, що клас може однозначно заданий як система значень деякої висказивательной функції, а отже, все, що можна сказати про класи, з успіхом переводимо на мову функцій: «Ви хочете сказати про пропозіціональной функції, що вона іноді є істинною. Це те саме, як якщо про клас кажуть, що він має члени. Ви хочете сказати, що це істинно в точності для 100 значень змінних. Остання однаково з часом, коли про класі кажуть, що він має сто членів. Все те, що ви хочете сказати про класи, що однаково з тим, що ви хочете сказати про пропозіціональних функціях, виключаючи випадкові і недоречні лінгвістичні форми 7575»[74]. Так затвердження, що клас супутників Марса містить два елемента, замінимі на твердження про те, що функція пропозіціональная супутник Марса (х) істинна рівно при двох значеннях змінної.

При заміні класів на функції виникають деякі проблеми, коротку експозицію яких ми зараз уявимо. Один і той самий клас можна поставити з допомогою різних функцій. Наприклад, клас людей буде ставити і функція "безперебі, двоноге (х)" і "політична тварина (х)". Такі функції (тобто функції, які задовольняє однаковий набір аргументів), Рассел називає формально еквівалентними. А раз ці функції специфікує один і той самий клас предметів, то в деяких контекстах їх можна замінити один на одного, причому істинність цілої не зміниться, як, наприклад, в "Сократ є безперебі і двоногим". Такі контексти Рассел називає екстенсіональнимі. Ці контексти не допускають двозначностей; які входять до них функції цілком можна розглядати замість класів. Причому все, що можна сказати про яку-небудь функції, буде можливість застосувати й до функції, формально їй еквівалентній. Отже, будь-яке висловлювання про клас можна замінити висловом про одну з формально еквівалентних опцій, однозначно цей клас специфікує. Однак тут виникає проблема. Справа в тому, що не завжди те, що можна сказати про одну формально еквівалентної функції, буде можливість застосувати до іншої. Прикладом такого неекстенсіонального контексту може служити вислів "Платон стверджував, що безперебі і двоноге однозначно визначають людини". У нього входить функція двоноге і безперебі (х), але спроба замінити на функцію її політичне тварина (х) зробить висловлення неправдивим. Отже, не все, що можна сказати про одну функції, застосовні до іншої. Проте Рассел вважає, що можна сконструювати таку формально еквівалентну функцію, яка задовольняла б необхідному властивості. Іншими словами, і для безперебі, двоноге (х) і для політичне тварина (х), існує формально еквівалентна функція, котра однозначно визначає клас людей та при цьому є екстенсіональной. У загальному випадку, якщо є вислів, що змінює своє значення істінностное при заміні однієї формально еквівалентної функції на іншу, завжди можна сконструювати функцію формально, еквівалентну вихідним функціям, яка буде екстенсіональной. З її допомогою можна і будь-яке висловлювання про клас перетворити у вислів про функції.

Єдине обмеження, що накладаються Расселом на утворення такої функції, повязане з вимогою теорії типів. Вона повинна вказувати Предикативне властивість відповідного класу. Різниця між предикативними і непредікатівнимі властивостями можна проілюструвати наступним прикладом. Розглянемо властивість бути людиною і властивість мати всі властивості людини. І те й інше належать до однієї і тієї ж класу предметів, але на відміну від першого, другого має властивість на увазі і саме себе. Бо якщо ми стверджуємо, що Сократ має всі властивості людини, то поряд з приписуванням їй властивостей бути двоногим і безперебі, бути політичною твариною і т.д. ми приписуємо йому і властивість мати всі властивості людини. Непредікатівное властивість самореферентно, тобто вказує і на саму себе. Відповідно, функція, що виражає самореферентное властивість, буде застосовуватися сама до себе, що, як було показано вище, призводить до парадоксу. З точки зору Рассела, функції, що виражають непредікатітвние властивості, повинні ставитися до більш високого типу, аніж, що виражають предикативні властивості, не дивлячись на те, що вони специфікує один той самий клас. Таким чином, функції, як і класи, повинні розглядатися в строгій ієрархії, що конструюється Расселом у розгалуженій теорії типів.

Твердження про існування формально еквівалентної предикативне функції, яка може замінити клас у всіх контекстах, доказати конструктивними засобами неможливо. Тому Рассел приймає його як аксіому, так звану зводиться аксіому, що формулюється так: "Існує така формально еквівалентна предикативне функція f, що для всякого x аргумент x задовольняє функцію f тоді і тільки тоді, коли він задовольняє функцію f ». Символічно:

u ? ($ f) (x) (fx ? f!x),

де ? знак тотожності, а ! у виразі f!x вказує на предикативного функції f.