Загальне поняття еластичності

При проведенні економічних розрахунків і особливо при прогнозуванні різних важливих для виробників і споживачів процесів дуже часто виникає необхідність не просто визначити загальний вигляд функцій попиту та пропозиції, а й з'ясувати, як сильно буде реагувати в кожному даному конкретному випадку величина попиту або пропозиції на зміни відповідних факторів , іншими словами, наскільки значними виявляться при цьому її відповідні зміни.

Мета побудови будь-якої моделі - опис взаємозв'язків між економічними змінними, що дозволяє пояснювати і прогнозувати, як зміни якого-небудь фактора впливають на інші економічні змінні. Тут важливо з'ясувати, наскільки чутливий досліджуваний економічний показник до зміни визначальних його чинників. Очевидно, що для цього не завжди буде досить порівняти приріст (абсолютні зміни), скажімо, величини пропозиції і ціни даного товару. (Нагадаємо, що коли величина Q змінюється від значення Q 0 (початкове значення) до значення Q ((кінцеве значення), то величина Д2 = б, - Q 0 називається абсолютним зміною (збільшенням) величини Q.)

По-перше, абсолютні зміни будуть залежати від причин, зовсім не відносяться до суті справи, наприклад, від вибору одиниці вимірювання обсягів товару та цін. По-друге, такі співвідношення приростів не можна буде порівнювати, якщо вони будуть ставитися до різних товарах, через розбіжність їх розмірностей. По-третє, що ще істотніше, для різних товарів і різних умов одні й ті ж абсолютні зміни можуть мати абсолютно різний зміст. Так, зростання ціни на 10 000 рублів буде означати зовсім різні речі для олівця і для друкарської машинки, а зростання обсягу попиту на 100 штук - для порцій морозива і для атомних підводних човнів. Вирішальне значення для визначення того, наскільки істотні дані зміни, наприклад кількості товару чи ціни, будуть мати самі вихідні розміри даних величин.

Тому від абсолютних змін зіставляються при аналізі величин необхідно перейти до відносних: в нашому прикладі - від AQ до AQ / Q. А темп приросту (процентна зміна) будь-якої величини - це виміряний в процентах відношення збільшення цієї величини до первісного її значення:

AQ% = AQ / Q - 100 =% (<2, ~ 0 Q) / Q 0% - 100.

Це дозволить розв'язати зазначені вище проблеми: одиниця і масштаб із втратять Мерень значення, оскільки в чисельнику і знаменнику таких дробів вони будуть однаковими; порівнянність по різних товарах буде забезпечена безразмерност'ю відносних змін, що виражаються в частках від базових величин або у відсотках, нарешті, ступінь значимості таких змін буде можна встановлювати виходячи з співвідношень отриманих у такий спосіб відносних величин. Отже, чутливість одного фактора до поведінки іншого найкраще визначати виходячи не лише з абсолютних, а й з відносних змін їх обох.

Точно так само є два підходи до аналізу чутливості залежності, що представлена функцією у = fix).

1) пріростний підхід: як змінюється значення функції в разі зміни незалежної змінної х на одиницю.Цей підхід дозволяє розглядати зв'язку типу:

приріст фактора (Ах) => приріст досліджуваного показника (Ау).

Меру «абсолютної» чутливості можна назвати швидкістю зміни функції. Міра чутливості функції в даній точці ( «миттєва швидкість») називається похідною.

2) темпової підхід: на скільки відсотківзміниться значення функції при з
трансформаційних змін незалежної змінної на один процент.Цей підхід дозволяє розглядається
Ріва зв'язку типу:

темп приросту фактора (% Ах) = »

=> Темп приросту досліджуваного показника (% Ау).

Згадаймо характеристику похідної. Нехай дана функція у = У (г) і два значення аргументу, х0 і ху Їм відповідають два значення функції - у0 = J [x0 ^ l yt = f (xt).Різниця ЛХ = х (- ^ є приростом аргументу, а Ау = У, ~ У. з = А / = Л *,)-Дх0) збільшенням функції.

Ми можемо вимірити ступінь абсолютної чутливості змінної у до змін змінної х, якщо визначимо співвідношення Ay / Ах.Недолік такого визначення чутливості полягає в тому, що вона залежить не від лише «початкової» точки ХД, щодо якої розглядається зміна аргументу, а й від самої величини інтервалу Ах, на якому визначається швидкість. Для усунення цього недоліку вводиться поняття похідної (швидкості зміни функції в точці). При визначенні швидкості зміни функції в точці зближають точки Х0 и х, спрямовуючи інтервал Дх до нуля. Швидкість зміни функції fix) Вточке Хй і називають похідної функції j (x) в точці Хй.Геометричний сенс швидкості зміни функції в точці ха в тому, що вона визначається кутом нахилу дотичної до графіка функції в точці xQ. Похідна - це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції.

Похідну функції в - fix) в точці х позначають / '(г), у',

причому всі ці позначення рівноправні. Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції.

Проте ^ використанням похідної як міри чутливості функції зв'язку економічних перемінних не завжди зручно із зазначених вище міркувань. Приміром, якщо ми функцію попиту розглянемо на цукор (0й) від його ціни (Р), то побачимо, що значення похідної при кожній ціні Р (вимірюється в гривнях) залежить від того, в яких одиницях вимірюється попит на цукор - в кілограмах або в центнерах. У першому випадку похідна вимірюється у кг / руб., У другому - в ц / руб. Крім того, похідна зв'язує абсолютні, а не відносні зміни функції і аргументу. Тому для вимірювання чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці часто вивчають зв'язок не абсолютні змін змінних X І ja їх відносних змін.

Для цих цілей і використовується показник еластичності, введений в економічний аналіз А. Маршаллом.Етстчностио даної велічіниможно вважати ізмеряемуювотносітельнойформестепеньізмененіяеезначеніявответнаізме-неніезначенія іншого, що зіставляється з нею під час аналізу, величини.

Іноді, зневажаючи формальними тонкощами, кажуть, що цінова еластичність попиту показує, на скільки відсотків зміниться величина попиту при зміні ціни на один відсоток. При цьому конкретна методика підрахунку конкретного коефіцієнта еластичності буде залежати від того, наскільки значними є розбіжності початкових та кінцевих значень розглянутих величин PnQ.

Якщо вони невеликі, то у формулу еластичності можуть бьпь поставлені просто небудь їх початкові значення Ра і Q 0, або кінцеві - Р, і Qt, адже отримані значення коефіцієнта еластичності при цьому будуть не дуже відрізнятися (зазвичай використовують початкові значення, тому що це дозволяє порівнювати декілька варіантів змін під час прийняття економічних рішень). У такому випадку можна говорити про точкової еластичності. При цьому ми маємо право перейти від збільшень обсягу попиту і ціни до їх диференціалом:

AQ ~ dQ, AP ~ dP.

Тоді, забігаючи наперед, відзначимо, що коефіцієнт, приміром, точкової еластичності попиту може бьпь виражений і через похідну функції попиту 0й = АР) '--

г = (А0 ° / АР) '(AP / QD) = (dQD / dP) - (P / QD) = = f' (P) (P / QD) = QD '•<№) В тому ж випадку, коли розглядаються зміни AQ та АР виявляються значними, значення коефіцієнта еластичності при використанні початкових та кінцевих величин пропозиції (попиту) і ціни можуть істотно розходитися. Тоді краще визначати дугову еластичність, використовуючи середні величини і Р *:

tm = (AQ / AP) - (Р7 (Г)

де <2Л = (б0 + 0 / 2,

Г = (Р0 + Р,) / 2.

Після нескладних перетворень формула дугової еластичності виглядатиме так:

Q 2 o + Q р,-Р0 & + Й

Таким чином, при невеликих змінах розглянутих величин зазвичай використовується формула точкової еластичності, а за значних (приміром, більше 5% від вихідних величин) - дугової еластичності.

При дослідженні чутливості знаходяться у функціональних залежностях що зіставляються величин еластичності використовують функцій.

Еластичність функції у = f (x) показує відносне зміна значення функції в в розрахунку на одиницю відносної зміни аргументу х.

Дх Якщо вважати загальної (сукупної) величиною (що, приміром, загальна або сукупна виручка), то M (J) = Ay / Ах - відповідна їй гранична величина (наприклад, гранична виручка, або додаткова виручка Ау від додаткової одиниці Ах), aA (J) - середня величина (середня виручка, або виручка в середньому на одиницю х, рівна у / г, у нашому прикладі це - ціна). Отже, еластичність функції дорівнює відношенню граничної і середньої величин.

Якщо згадати, що відповідно до закону попиту величини зміни попиту і ціни даного товару різнонаправлений, стане зрозуміло, що коефіцієнт цінової еластичності попиту повинен бути негативним. Для простоти аналізу знак «мінус» іноді опускають. Фактично при цьому мають справу з абсолютним значення, або просто, модулем коефіцієнта еластичності тобто

Абсолютне значення коефіцієнта еластичності в діапазоні може змінюватися від нуля до нескінченності, проте важливою різницею являетсяедініца, оскільки вона поділяє реакцію, що перевищує вихідний імпульс, і менш чутливі відповідні зміни. При | є | <1 ступінь зміни, наприклад обсягу попиту менше вихідного зміни ціни - значить, ми маємо справу з товаром не еластичного (жорсткого) попиту.При одиничною еластичності (| є | = 1) вихідний імпульс і у відповідь реакція збігаються по відносній величині. Якщо ж | є |> 1, то можна говорити про товар еластичного (гинув когось) попиту.Крайніми випадками є, з одного боку, нульова еластичність:

в цьому випадку крива попиту (чи пропозиції) суворо вертикальна: AQ = 0 при будь-які зміни ціни, тобто величина попиті або пропозиції зовсім не реагує на зміни ціни;

із іншого боку, це нескінченна еластичність.

У цьому випадку крива попиту (чи пропозиції) строго горизонтальна: AQ = оо при самих незначних зміни ціни, тобто обсяг попиту або пропозиції при найменшому відповідному зростанні або падінні ціни знизилися до 0.

Криві ж попиту і пропозиції з постійною еластичністю - це графіки статечних функцій.Для попиту це - гіпербола: QD - А / Р А = Р ~ • а, а де> +0. Тоді

ео = о *. (p / QO) = (Д. р-«) '. РДА. р-«) = = - а • А ~ Р а''Р А1 Ра =-а.

До речі, звідси випливає, що крива попиту із одиничною еластичністю - це гіпербола з показником ступеня-а = - +1:

Q "= Л / Ра. Для пропозиції: Qs-а • Ра, а де> +0.

Тоді e *= Q5 '(P / Q ^ (А Р ")' • Р / (А • Р") = а • ЛР <- [> Р * А ~ [> Р ~ "= а.

Звідси випливає, що крива пропозиції із одиничною еластичністю - це графік лінійної функції, що виходить з початку координат:

& = АР