Однорідність виробничій функції
Залежність приросту випуску продукції від збільшення всіх виробничих факторів є однією з важливих характеристик виробничого процесу фірми в довгостроковому періоді. При розгляді виробничої функції часто виходять з того, що при збільшенні обсягу властивостей продукції пропорційно зростає і обсяг виробництва. Однак на практиці це буває далеко не завжди.
Часто (але не обовязково завжди) при збільшенні масштабів щодо дрібного виробництва випуск зростає випереджаючими темпами в порівнянні зі збільшенням факторів виробництва. У такому випадку говорять, що має місце зростаюча віддача від масштабу.
Потім, у міру подальшого зростання виробництва обсягів, віддача від масштабу може дорівнювати приросту факторів виробництва. Це випадок постійної віддачі від масштабу.
Нарешті, досягши якогось рівня, віддача від масштабу сповільнюється в порівнянні зі збільшенням обсягів властивостей продукції. Це - спадна віддача від масштабу.
Для оцінки віддачі від масштабу використовують поняття однорідності.Виробнича функція називається однорідною, якщо при збільшенні всіх факторів виробництва в k разів обсяг випуску збільшується в k разів. Тут t - показник ступеня однорідності.Отже, виробнича функція Q = Q (L, К) є однорідною в ступені t, якщо:
* Q - Q (kL, kK).
(5.19)
Якщо t = 1, то функція однорідна до першого ступеня, а виробництво демонструє постійну віддачу від масштабу.У цьому випадку говорять, що виробнича функція лінійно-однорідна.
Якщо t> 1, то має місце зростаюча віддача від масштабу.
Якщо t <1 - у наявності спадна від віддача масштабу.
Пояснимо поняття віддачі від масштабу з допомогою графіка.
Коли характеризується виробничий процес фірми зростаючою віддачею від масштабу (відрізок ОА променя), ізокванти стають ближчими один до одного. Це означає, що при пропорційному збільшенні праці (5, 10, 15 і т.д.) і капіталу (1, 2,3 і т. д.) обсяг виробництва зростає прискорює темп.
При спадної віддачі від масштабу (відрізок АВ променя), навпаки, ізокванти розташовуються все далі один від одного, тому що потрібно все більша і більша кількість факторів виробництва для збільшення обсягів виробництва.
При постійної віддачі від масштабу ізокванти розташовуються рівномірно.
Віддача від масштабу істотно розрізняється для різних фірм і галузей. За інших рівних умов, чим більше віддача від масштабу, тим більші фірми діють в даній галузі. Звичайно виробничі галузі характеризуються більшою віддачею від масштабу, ніж сфери послуг, так як у матеріальному виробництві потрібні істотні капіталовкладення в обладнання.
Повернемося до виробничій функції Кобба-Дугласа (Q? = Л АА *).Ступінь її однорідності дорівнює (а + b).Особливим випадком є функція Q = D / K 2 [/ 2, коли однорідність функції Кобба-Дугласа лінійна, тобто демонструє постійну віддачу від масштабу.
Однорідна виробнича функція володіє наступними властивостями.По-перше, ставлення граничних продуктів (MPK / MPL = MRTS) не змінюється, якщо витрати (К і L) змінюються пропорційно. Це означає, що в кожної точці будь-якого променя, що виходить з початку координат (тобто в точках А, В, С і т. д.), нахил ізоквант (Q,, Qr Q 3 і т. д.) постійний.
По-друге, відповідно до теореми Ейлера сума часткових похідних щодо незалежної змінної дорівнює добутку залежної змінної на ступінь однорідності.
Теорема Ейлера: якщо вираз Y = (Xv Х +2, ¦ ¦, ХП) однорідно, то ^ ^ ЕУ / Е ^, = tY, де t - показник ступеня однорідності.
У разі двохфакторну моделі це означає, що:
tQ - Lx MPL + КхМРК. (5.20)
Ці дві властивості однорідною виробничої функції особливо важливі при аналізі витрат (див. розділ 6), а також при вивченні розподілу доходу в конкурентній економіці.
Еластичність випуску та віддача від масштаб. Якщо вважати формою виробничої функції тривалого періоду ступеневу функцію:
Q = ALaKb при а + Ъ = 1, то
показники а і Ь рівні коефіцієнтами еластичності по факторах:
1.
_ MPL aAK ^ _ L "- _ bQl ~ APL ~ ARtLT 1 ~ °" _ MPK РЛГХМ
APK ALaK ^
Для характеристики віддачі від масштабу використовується коефіцієнт еластичний ності випуску від масштабу (е "до). Дана величина показує, на скільки зміниться випуск, якщо темп росту обсягів використання обох факторів збільшиться на одиницю:
dQК
^ ¦ "=dK - Q - (5.21)
Коефіцієнт еластичності випуску від масштабу характеризує рівень однорідності виробничої функції, т. е. віддача від масштабу може бути представлена в універсальній формі:
Q, Ke & - Q (tL, tK). (5.22)
Якщо показник ступеню (е "?):
-> 1, то віддача від масштабу зростає;
- = 1, то віддача від масштабу постійна;
- <1 то віддача від масштабу знижується.
Теорема Віксель-Джонса: випуску еластичність від масштабу дорівнює сумі випуску еластичність від використовуваних чинників:
е ш = е <ц. + ЄАК-(5-23)
Доказ. Повний диференціал однорідної функції Q = f (L, K) дорівнює:
DQjidL + didK --<5-24>
При пропорційній зміні факторів має місце:
dt dL dK, dt,, dt ,.,..
Т Т = = = Т »Л = ТЯ, Л-ТХ. (5.25)
Підставивши 5.25 до 5.24, отримаємо:
Помножимо обидві частини отриманого рівності на t / х Q dt. DQ t _ = L df _ _ df _ До dt Q ~ dL Q + dK Q
А це ніщо інше, як вияв 5.23, що і потрібно було довести.